Estudos Vlog Matemática - Derivada da Função Exponencial Pela Definição

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Cálculo da derivada da função exponencial $f(x)=a^x$ pela definição. Considerando $x\in R$ e $a$ real com $a>0$.

$$\frac{d(a^x)}{dx}=(a^x)\left(li{m}_{h\to 0}\frac{(a^h-1)}{h}\right)$$

pois,

$$\frac{d(a^x)}{dx}=li{m}_{h\to 0}\frac{(a^{(x+h)}-a^x)}{h}=li{m}_{h\to 0}\frac{(a^x(a^h-1))}{h}=a^x\left(li{m}_{h\to 0}\frac{(a^h-1)}{h}\right)$$

ainda, fazendo $k=1/h$ tal que $h\to 0$ implica $k$ tendendo ao infinito, $h=1/k$ com $k\ne 0$,

$$\frac{d(a^x)}{dx}=a^x\left(li{m}_{k\to +\mathrm{\infty }}(k(a^{(1/k)}-1))\right)$$

onde,

$$k(a^{(1/k)}-1)=k(a^{(k^{-1})}-1)=k(\sqrt[k]{a}-1)$$


Minha conjectura fôra que, ( ln = logaritmo de base 'e' de a ),  

$$li{m}_{k\to +\mathrm{\infty }}\left(k(a^{(1/k)}-1)\right)=ln(a)$$


mas não sei como mostrar de fato quanto vale o limite, que aparece acima no cálculo da derivada da função exponencial pela definição, abaixo.

$$li{m}_{h\to 0}\frac{(a^h-1)}{h}.$$