Cálculo 2 - Limite Definição

Cálculo 2 - Limite á Duas Variáveis

Definição: Seja $f$ uma função cujo domínio $D\subset {\mathbb{R}}^2$ contém pontos arbitrariamente próximos de $(a,b)$. Dizemos que o limite de $f(x,y)$ quando $(x,y)$ tende a $(a,b)$ é $L$ e escrevemos

$$\underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)=L$$

se para todo número $ϵ>0$ existe um número correspondente $\delta >0$ tal que se $(x,y)\in D$ e $0<\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}<\delta$ então $|f(x,y)-L|<ϵ$.

Exemplo: Verificar que $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{3x^{2}y}{x^2+y^2}=0$.
Seja $ϵ>0$, queremos determinar um $\delta >0$ tal que se
$0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ então $|\frac{3x^{2}y}{x^2+y^2}|<ϵ$
Considerando $x^2>0$ e $y^2>0$, como $x^2+y^2>0$ e $3x^{2}y>0sey\ge 0e3x^{2}y<0sey<0$ com $(x,y)\in D\subset {\mathbb{R}}^2$, temos
$0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta então\frac{3x^2|y|}{x^2+y^2}<ϵ$

Como $y^2\ge 0$ logo $x^2+y^2\ge x^2$ assim $\frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1$ e portanto

$$\frac{3x^2|y|}{x^2+y^2}\le (3|y|)=3\sqrt{y^2}<3\sqrt{x^2+y^2}$$

Como, se $3\sqrt{x^2+y^2}<ϵ$ logo $\frac{3x^2|y|}{x^2+y^2}<ϵ$ assim se escolhermos $\delta =\frac{ϵ}{3}$ e fizermos $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ tal que,
$3\sqrt{x^2+y^2}<ϵ$ de forma que $\frac{3x^2|y|}{x^2+y^2}<ϵ$ obtendo-se $\sqrt{x^2+y^2}<\frac{ϵ}{3}$.

Assim se escolhermos $\delta =\frac{ϵ}{3}$ e fizermos $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ teremos,

$$|\frac{3x^{2}y}{x^2+y^2}|<3\sqrt{x^2+y^2}<3\delta =3(\frac{ϵ}{3})=ϵ$$. $◻$

(Conteúdo gerado a partir de arquivo .tex com aplicação Pandoc. Exemplo (pelo terminal): pandoc meu-texto.tex -s --mathjax -o meu-texto.html).
Foi usado,
Pandoc: https://pandoc.org/demos.html
MathJax.
Requer adição do script do MathJax no cabeçalho do blog.

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