Artes, matemática e computação.
Estudos Vlog Matemática - Derivada da Função Exponencial Pela Definição
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Cálculo da derivada da função exponencial $f(x) = a^x $ pela definição. Considerando $x \in R$ e $a$ real com $a>0$.
$$\frac{d(a^x)}{dx} = (a^x)\left( lim_{ h \to 0} \frac{ ( a^h - 1 )}{ h } \right)$$
pois,
$$ \frac{ d(a^x)}{dx} = lim_{h \to 0} \frac{ ( a^{(x+ h)} - a^x )}{h} = lim_{h \to 0} \frac{ ( a^x( a^h - 1 ) )}{h} = a^x \left( lim_{ h \to 0} \frac{( a^h - 1 )}{h} \right)$$
ainda, fazendo $k = 1/h$ tal que $h \to 0$ implica $k$ tendendo ao infinito, $h = 1/k$ com $ k \neq 0$,
$$ \frac{d(a^x)}{dx} = a^x\left( lim_{ k \to + \infty } \; \left( k( a^{ (1/k) } - 1) \right) \right) $$
onde,
$$ k(a^{ (1/k) } - 1 ) = k( a^{ ( k^{-1} ) } - 1 )= k( \sqrt[k]{a} - 1 ) $$
Minha conjectura fôra que, ( ln = logaritmo de base 'e' de a ),
$$ lim_{ k \to + \infty } \left( k\left( a^{ (1/k) } - 1 \right) \right) = ln( a ) $$
mas não sei como mostrar de fato quanto vale o limite, que aparece acima no cálculo da derivada da função exponencial pela definição, abaixo.
$$ lim_{ h \to 0} \frac{ ( a^h - 1 )}{h}. $$
$$\frac{d(a^x)}{dx} = (a^x)\left( lim_{ h \to 0} \frac{ ( a^h - 1 )}{ h } \right)$$
pois,
$$ \frac{ d(a^x)}{dx} = lim_{h \to 0} \frac{ ( a^{(x+ h)} - a^x )}{h} = lim_{h \to 0} \frac{ ( a^x( a^h - 1 ) )}{h} = a^x \left( lim_{ h \to 0} \frac{( a^h - 1 )}{h} \right)$$
ainda, fazendo $k = 1/h$ tal que $h \to 0$ implica $k$ tendendo ao infinito, $h = 1/k$ com $ k \neq 0$,
$$ \frac{d(a^x)}{dx} = a^x\left( lim_{ k \to + \infty } \; \left( k( a^{ (1/k) } - 1) \right) \right) $$
onde,
$$ k(a^{ (1/k) } - 1 ) = k( a^{ ( k^{-1} ) } - 1 )= k( \sqrt[k]{a} - 1 ) $$
Minha conjectura fôra que, ( ln = logaritmo de base 'e' de a ),
$$ lim_{ k \to + \infty } \left( k\left( a^{ (1/k) } - 1 \right) \right) = ln( a ) $$
mas não sei como mostrar de fato quanto vale o limite, que aparece acima no cálculo da derivada da função exponencial pela definição, abaixo.
$$ lim_{ h \to 0} \frac{ ( a^h - 1 )}{h}. $$
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